數(shù)學(xué)發(fā)展史上的三次危機(jī)

無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)---第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

大約公元前5世紀(jì),不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究,把幾何、算術(shù)、天文、音樂(lè)稱為四藝,在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。

他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理,但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形,如直角邊長(zhǎng)均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條,導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的危機(jī),從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

到了公元前370年,這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法,出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無(wú)理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來(lái)的某些困難和微妙之處。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明,幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān),幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示,反之卻可以由幾何量來(lái)表示出來(lái),整數(shù)的權(quán)威地位開(kāi)始動(dòng)搖,而幾何學(xué)的身份升高了。危機(jī)也表明,直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開(kāi)始重視演譯推理,并由此建立了幾何公理體系,這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命!

無(wú)窮小是零嗎?---第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

18世紀(jì),微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用,大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年,英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》,矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無(wú)窮小的問(wèn)題,提出了所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí),采取了先給x以增量0,應(yīng)用二項(xiàng)式（x 0）n,從中減去xn以求得增量,并除以0以求出xn的增量與x的增量之比,然后又讓0消逝,這樣得出增量的最終比。

這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)---先設(shè)x有增量,又令增量為零,也即假設(shè)x沒(méi)有增量。他認(rèn)為無(wú)窮小dx既等于零又不等于零,召之即來(lái),揮之即去,這是荒謬,dx為逝去量的靈魂。無(wú)窮小量究竟是不是零?無(wú)窮小及其分析是否合理?由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。

導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的,直觀的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念,從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚,無(wú)窮大概念不清楚,以及發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性,符號(hào)的不嚴(yán)格使用,不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分,不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。

直到19世紀(jì)20年代,一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開(kāi)始,到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束,中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì),基本上解決了矛盾,為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

悖論的產(chǎn)生---第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī),是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的,到現(xiàn)在,從整體來(lái)看,還沒(méi)有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支,并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。

1897年,福爾蒂揭示了集合論中的第一個(gè)悖論。兩年后,康托發(fā)現(xiàn)了很相? ??的悖論。1902年,羅素又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論,它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的,它涉及到某村理發(fā)師的困境。

理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉,并且,只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們?cè)噲D回答下列疑問(wèn)時(shí),就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)：理發(fā)師是否自己給自己刮臉?如果他不給自己刮臉,那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉,那么他就不符合他的原則。

羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。無(wú)怪乎弗雷格在收到羅素的信之后,在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道：一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了,即在工作完成之時(shí),它的基礎(chǔ)垮掉了,當(dāng)本書等待印出的時(shí)候,羅素先生的一封信把我置于這種境地。

于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。

承認(rèn)無(wú)窮集合,承認(rèn)無(wú)窮基數(shù),就好像一切災(zāi)難都出來(lái)了,這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除,矛盾可以解決,然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。現(xiàn)代公理集合論的大堆公理,簡(jiǎn)直難說(shuō)孰真孰假,可是又不能把它們都消除掉,它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。

所以,第三次危機(jī)表面上解決了,實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。

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